Як знаходити межі послідовності
Відео: Межа послідовності
Вивчення методології обчислення меж починається якраз з обчислення меж послідовностей, де немає великого різноманіття. Причина - аргумент завжди натуральне число n, що прагне до позитивної нескінченності. Тому все більш складні випадки (в процесі еволюції процесу навчання) випадають на долю функцій.
1
Числову послідовність можна розуміти як функцію xn = f (n), де n - натуральне число (позначається {xn}). Самі числа xn називаються елементами або членами послідовності, n - номер члена послідовності. Якщо функція f (n) задана аналітично, тобто формулою, то xn = f (n) називають формулою загального члена послідовності.
2
Число а називається межею послідовності {xn}, якщо для будь-якого? Gt; 0 існує номер n = n (?), Починаючи з якого виконується нерівність | xn-a | lt; ?. Аналітичний вираз межі проілюстровано на малюнку 1а.Особий інтерес представляє межа послідовності (див. Рис. 1b). Тут е = +2,718281828459045 ... - трансцендентне число, зване числом Ейлера, яке в математиці є підставою натурального логарифма.
3
Перший спосіб обчислення границі послідовності заснований на її визначенні. Правда слід запам`ятати, що шляхів безпосереднього пошуку межі він не дає, а дозволяє лише довести, що будь-яке число а є (або не є) пределом.Прімер 1. Довести, що послідовність {xn} = {(3n ^ 2-2n -1) / (n ^ 2-n-2)} має межу а = 3.Решеніе. Проводьте доказ шляхом застосування визначення в зворотному порядку. Тобто справа наліво. Попередньо перевірте - чи немає можливості спростити формулу для xn.хn = (3n ^ 2 + 4n + 2) / (n ^ 2 + 3n22) = ((3n + 1) (n + 1)) / ((n + 2) (n + 1)) =) = (3n + 1) / (n + 2) .Розглянемо нерівність | (3n + 1) / (n + 2) -3 | 0 можна знайти будь-яке натуральне число n ?, більше -2 + 5 / ?.
4
Приклад 2. Довести, що в умовах прикладу 1 число а = 1 не є межею послідовності попереднього прикладу. Рішення. Знову спростите загальний член послідовності. Візьміть? = 1 (це будь-яке число gt; 0) .Запішіте укладає нерівність загального визначення | (3n + 1) / (n + 2) -1 |
5
Завдання безпосереднього обчислення границі послідовності досить одноманітні. Всі вони містять відносини поліномів щодо n або ірраціональних виразів щодо цих поліномів. Приступаючи до вирішення, винесіть за дужки (знак радикала) складову, що знаходиться в старшій ступеня. Нехай для чисельника вихідного вираження це призведе до появи множника a ^ p, а для знаменника b ^ q. Очевидно, що всі залишилися складові мають вигляд С / (n-k) і прямують до нуля при ngt; k (n прямує до нескінченності). Після цього запишіть відповідь: 0, якщо pq.
6
Зазначимо не традиційний спосіб знаходження межі послідовності і нескінченних сум. Будемо використовувати функціональні послідовності (їх члени функції, визначені на деякому проміжку (a, b)). Приклад 3. Знайти суму виду 1 + 1/2! +1/3! + ... + 1 / n! + ... = s .Рішення. Будь-яке число а ^ 0 = 1. Покладіть 1 = exp (0) і розгляньте функціональну послідовність {1 + x + x ^ 2/2! + X ^ 3/3! + ... + x ^ / n!}, N = 0,1,2, .., n .... Легко помітити, що записаний поліном збігається з многочленом Тейлора за ступенями x, який в даному випадку збігається з exp (x). Візьміть х = 1. Тогдаexp (1) = e = 1 + 1 + 1/2! +1/3! + ... + 1 / n! + ... = 1 + s. Відповідь s = e-1.
Поділися в соціальних мережах:
Схожі
- Як побудувати графік послідовності
- Як навчитися вирішувати межі
- Як знайти похилу асимптоту
- Як задати аналітично функцію
- Як знаходити межі функцій
- Як обчислити межа з прикладами
- Як досліджувати безперервність функції
- Як розділити дріб на натуральне число
- Як знайти нод і нок чисел
- Що таке натуральне число
- Як обчислити межа
- Як порахувати межа
- Як досліджувати на збіжність ряд
- Як обчислити межа послідовності
- Як визначити межу
- Межі: як їх порахувати
- Як знайти найбільше з чисел
- Як знайти аргумент комплексного числа
- Як знаходити асимптоти
- Як знайти квадратний корінь з числа
- Як рахувати межі