Як рахувати межі
У підручниках з математичного аналізу значна увага приділяється прийомам обчислення меж функцій і послідовностей. Існують готові правила і методи, застосовуючи які, можна з легкістю вирішувати навіть відносно складні завдання на межі.
1
В математичному аналізі існують поняття меж послідовностей і функцій. Там, де необхідно знайти межу послідовності, це записують наступним чином: lim xn = a. У такій послідовності послідовності xn прагне до a, а n до нескінченності. Послідовність зазвичай представляють у вигляді ряду, наприклад:
x1, x2, x3 ..., xm, ..., xn ....
Послідовності поділяються на зростаючі і спадні. наприклад:
xn = n ^ 2 - зростаюча послідовність
yn = 1 / n - спадна послідовність
Так, наприклад, межа послідовності xn = 1 / n ^ 2 дорівнює:
lim 1 / n ^ 2 = 0
x1, x2, x3 ..., xm, ..., xn ....
Послідовності поділяються на зростаючі і спадні. наприклад:
xn = n ^ 2 - зростаюча послідовність
yn = 1 / n - спадна послідовність
Так, наприклад, межа послідовності xn = 1 / n ^ 2 дорівнює:
lim 1 / n ^ 2 = 0
x-gt ;?
Даний межа дорівнює нулю, оскільки n-gt;?, А послідовність 1 / n ^ 2 наближається до нуля.
2
Зазвичай змінна величина x прагне до кінцевого межі a, причому, x постійно наближається до a, а величина a постійна. Це записують наступним чином: limx = a, при цьому, n також може прагнути як до нуля, так і до безкінечності. Існують нескінченні функції, для них межа прямує до нескінченності. В інших випадках, коли, наприклад, функцією описується уповільнення ходу поїзда, можна говорити про межу, яка прагне до нуля.
У меж є ряд властивостей. Як правило, будь-яка функція має тільки один межа. Це головна властивість межі. Інші їх властивості перераховані нижче:
* Межа суми дорівнює сумі меж:
lim (x + y) = lim x + lim y
* Межа твори дорівнює добутку меж:
lim (xy) = lim x * lim y
* Межа приватного дорівнює приватному від меж:
lim (x / y) = lim x / lim y
* Постійний множник виносять за знак межі:
lim (Cx) = C lim x
Якщо дана функція 1 / x, в якій x -gt;?, Її межа дорівнює нулю. Якщо ж x-gt; 0, межа такої функції дорівнює?.
Для тригонометричних функцій є винятки з цих правил. Так як функція sin x завжди прагне до одиниці, коли наближається до нуля, для неї справедливо тотожність:
lim sin x / x = 1
У меж є ряд властивостей. Як правило, будь-яка функція має тільки один межа. Це головна властивість межі. Інші їх властивості перераховані нижче:
* Межа суми дорівнює сумі меж:
lim (x + y) = lim x + lim y
* Межа твори дорівнює добутку меж:
lim (xy) = lim x * lim y
* Межа приватного дорівнює приватному від меж:
lim (x / y) = lim x / lim y
* Постійний множник виносять за знак межі:
lim (Cx) = C lim x
Якщо дана функція 1 / x, в якій x -gt;?, Її межа дорівнює нулю. Якщо ж x-gt; 0, межа такої функції дорівнює?.
Для тригонометричних функцій є винятки з цих правил. Так як функція sin x завжди прагне до одиниці, коли наближається до нуля, для неї справедливо тотожність:
lim sin x / x = 1
x-gt; 0
3
Відео: 5 типових меж. 3ий з 5і (поєднане) - bezbotvy
У ряді завдань зустрічаються функції, при обчисленні меж яких виникає невизначеність - ситуація, при якій межа неможливо обчислити. Єдиним виходом з такої ситуації стає застосування правила Лопіталя. Існує два види невизначеностей:
* Невизначеність виду 0/0
* Невизначеність виду? /?
Наприклад, дано межа такого вигляду: lim f (x) / l (x), причому, f (x0) = l (x0) = 0. В такому випадку, виникає невизначеність виду 0/0. Для вирішення такого завдання обидві функції піддають диференціюванню, після чого знаходять межа результату. Для невизначеностей виду 0/0 межа дорівнює:
lim f (x) / l (x) = lim f` (x) / l` (x) (при x-gt; 0)
Це ж правило справедливо і для невизначеностей типу? / ?. Але в цьому випадку справедливо наступне рівність: f (x) = l (x) =?
За допомогою правила Лопіталя можна знаходити значення будь-яких меж, в яких фігурують невизначеності. Обов`язкова умова при
* Невизначеність виду 0/0
* Невизначеність виду? /?
Наприклад, дано межа такого вигляду: lim f (x) / l (x), причому, f (x0) = l (x0) = 0. В такому випадку, виникає невизначеність виду 0/0. Для вирішення такого завдання обидві функції піддають диференціюванню, після чого знаходять межа результату. Для невизначеностей виду 0/0 межа дорівнює:
lim f (x) / l (x) = lim f` (x) / l` (x) (при x-gt; 0)
Це ж правило справедливо і для невизначеностей типу? / ?. Але в цьому випадку справедливо наступне рівність: f (x) = l (x) =?
За допомогою правила Лопіталя можна знаходити значення будь-яких меж, в яких фігурують невизначеності. Обов`язкова умова при
тому - відсутність помилок при знаходженні похідних. Так, наприклад, похідна функції (x ^ 2) `дорівнює 2x. Звідси можна зробити висновок, що:
f` (x) = nx ^ (n-1)
Рада 2: Як знаходити межі функцій
розрахунок меж функцій - фундамент математичного аналізу, якому присвячено чимало сторінок в підручниках. Однак часом не зрозуміло не тільки визначення, але і сама суть межі. Говорячи простою мовою, межа - це наближення однієї змінної величини, яка залежить від іншої, до якогось конкретного єдиному значенню в міру зміни цієї іншої величини. Для успішного обчислення досить тримати в умі простий алгоритм вирішення.
Поділися в соціальних мережах:
Схожі
- Як знайти мінімальне значення функції
- Як побудувати графік послідовності
- Як навчитися вирішувати межі
- Як знайти похилу асимптоту
- Як досліджувати функцію і побудувати її графік
- Як знаходити межі функцій
- Як обчислити межа з прикладами
- Як вивести момент інерції
- Як знайти нод і нок чисел
- Як обчислити межа
- Як знайти межі за правилом лопіталя
- Як шукати похідну
- Як порахувати межа
- Як знайти монотонність функції
- Як досліджувати на збіжність ряд
- Як обчислити межа послідовності
- Як визначити межу
- Межі: як їх порахувати
- Як знаходити асимптоти
- Як знаходити межі послідовності
- Як обчислити межі функцій, не користуючись засобами диференційного обчислення