Як досліджувати безперервність функції
Безперервність - одне з основних властивостей функцій. Рішення про те, неперервна дана функція чи ні, дозволяє судити про інших властивостях досліджуваної функції. Тому так важливо досліджувати функції на неперервність. У даній статті розглянуті основні прийоми дослідження функцій на неперервність.
Відео: Дослідити безперервність функції (точки розриву)
1
Отже, почнемо з визначення безперервності. У ньому йдеться наступне:
Функція f (x), певна в деякій околиці точки a, називається безперервної в цій точці, якщо
lim f (x) = f (a)
Функція f (x), певна в деякій околиці точки a, називається безперервної в цій точці, якщо
lim f (x) = f (a)
x-gt; a
Відео: Безперервність функції
2
Розберемося, що це означає. По-перше, якщо функція не визначена в даній точці, то сенсу говорити про безперервність немає. Функція розривна і крапка. Наприклад, всім відома f (x) = 1 / x не існує в нулі (ділити на нуль ні в якому разі не можна), ось і розрив. Це ж торкнеться і більш складних функцій, в які не можна підставити деякі значення.
3
По-друге, є інший варіант. Якщо ми (або хтось для нас) склав функцію зі шматочків інших функцій. Наприклад, таку:
f (x) = x ^ 2-4, xlt; -1
f (x) = x ^ 2-4, xlt; -1
3x, -1lt; = xlt; 3
5, xgt; = 3
У такому випадку нам треба зрозуміти, вона неперервна або розривна. Як це зробити?
4
Це варіант більш складний, тому що потрібно встановити безперервність на всій області визначення функції. В даному випадку областю визначення функції є вся числова вісь. Тобто від мінус-нескінченності до плюс-нескінченності.
Для початку скористаємося визначенням безперервності на проміжку. Ось воно:
Функцію f (x) називають неперервною на відрізку [a- b], якщо вона неперервна в кожній точці інтервалу (a- b) і, крім того, неперервна справа в точці a і зліва в точці b.
Для початку скористаємося визначенням безперервності на проміжку. Ось воно:
Функцію f (x) називають неперервною на відрізку [a- b], якщо вона неперервна в кожній точці інтервалу (a- b) і, крім того, неперервна справа в точці a і зліва в точці b.
5
Отже, щоб визначити безперервність нашої складної функції, треба відповісти для себе на кілька запитань:
1. Чи визначені взяті функції на заданих інтервалах?
У нашому випадку відповідь позитивна.
Значить, точки розриву можуть бути лише в точках зміни функції. Тобто в точках 1 і 3.
1. Чи визначені взяті функції на заданих інтервалах?
У нашому випадку відповідь позитивна.
Значить, точки розриву можуть бути лише в точках зміни функції. Тобто в точках 1 і 3.
6
2. Тепер потрібно досліджувати безперервність функції в цих точках. Ми вже знаємо, як це робиться.
Спершу потрібно знайти значення функції в цих точках: f (-1) = - 3, f (3) = 5 - функція визначена в цих точках.
Тепер потрібно знайти правий і лівий межі для цих точок.
lim f (-1) = - 3 (межа зліва існує)
Спершу потрібно знайти значення функції в цих точках: f (-1) = - 3, f (3) = 5 - функція визначена в цих точках.
Тепер потрібно знайти правий і лівий межі для цих точок.
lim f (-1) = - 3 (межа зліва існує)
x-gt; -1-
lim f (-1) = - 3 (межа праворуч існує)
x-gt; -1+
Як бачимо, правий і лівий межі для точки -1 збігаються. Значить, функція неперервна в точці -1.
7
Проробимо те ж саме для точки 3.
lim f (3) = 9 (межа існує)
lim f (3) = 9 (межа існує)
x-gt; 3
lim f (3) = 5 (межа існує)
x-gt; 3+
А тут межі не співпадають. Це означає, що в точці 3 функція розривна.
Ось і все дослідження. Бажаємо успіхів!
Дослідженням функції називають спеціальне завдання в шкільному курсі математики, в ході якого виявляються основні параметри функції і будується її графік. Раніше метою даного дослідження була побудова графіка, сьогодні ж це завдання вирішується за допомогою спеціалізованих комп`ютерних програм. Але все ж не зайвим буде ознайомитися з загальною схемою дослідження функції.
Поділися в соціальних мережах:
Схожі
- Як будувати графіки функцій
- Як знайти найменше значення функції на відрізку
- Як досліджувати функцію
- Як знайти стаціонарні точки функції
- Як знайти проміжки монотонності і екстремуму
- Як визначити точки розриву функції
- Як вирішити функцію f x
- Як знаходити точку максимуму функції
- Як досліджувати функцію і побудувати її графік
- Що таке похідна
- Як знаходити значення похідної функції
- Як перевірити функцію на парність і непарність
- Як шукати похідну
- Як знайти монотонність функції
- Як знаходити найменше значення функції
- Як знаходити період функції
- Як знайти похідну функцію в точці
- Як знайти максимальне значення функції
- Як побудувати графік функції
- Як досліджувати функцію на парність
- Як знайти критичні точки