Як знаходити асимптоти

На практиці вертикальні асимптоти відшукуються зовсім просто. Це точки нулів знаменника функції f (x).
Вертикальна асимптота - це вертикальна пряма. Її рівняння x = a. Тобто при х прагне до a (праворуч або ліворуч), функція прямує до нескінченності (позитивної або негативної).

Горизонтальна асимптота - це горизонтальна пряма y = A, до якої графік функції необмежено наближається при прагненні х до нескінченності (позитивної або негативно) (див. Рис.1), тобто

Похилі асимптоти знаходять трохи складніше. Визначення їх залишається колишнім, але задаються вони рівнянням прямої лінії y = kx + b. Відстань від асимптоти до графіка функції тут, відповідно до малюнком 1 становить | MP |. Очевидно, що якщо | MP | прямує до нуля, то до нуля прагне і довжина відрізка | MN |. Точка М - ордината асимптоти, N - функції f (x). Абсциса у них спільна.


Відстань | MN | = f (xM) - (kxM + b) або просто f (x) - (kx + b), де k - тангенс кута нахилу пряної (асимптоти) до осі абсцис. f (x) - (kx + b) прагне до нуля, тому k можна знайти як межа відносини (f (x) - b) / х, при х прагне до нескінченності (див. рис.2).

Після знаходження k, слід визначити b, обчисливши межа різниці f (x) - KХ, при х прагне до нескінченності (див. Рис.3).
Далі вам необхідно побудувати графік асимптоти, також як і прямий y = kx + b.

Приклад. Знайти асимптоти графіка функції y = (x ^ 2 + 2x-1) / (x-1).
1. Очевидна вертикальна асимптота x = 1 (як нуль знаменника).
2. y / x = (x ^ 2 + 2x-1) / (x-1) x = (x ^ 2 + 2x-1) / (x ^ 2x). Тому, обчисливши межа
на нескінченності від останньої раціональної дробу, получіттся k = 1.
f (x) -kx = (x ^ 2 + 2x-1) / (x-1) - x = (x ^ 2 + 2x-1-x ^ 2 + x) / (x-1) = 3x / ( x-1) - 1 / (x-1).
Таким чином, ви отримаєте b = 3. . вихідне рівняння похилій асимптоти буде мати вигляд: y = x + 3 (див. рис.4).