Межі: як їх порахувати
Значення будь-якого виразу прагне до якогось межі, величина якого є постійною. Завдання на межі досить часто зустрічаються в курсі математичного аналізу. Їх вирішення вимагає наявності ряду специфічних знань і навичок.
1
Межею називається деяке число, до якого прагне змінна змінна або значення виразу. Зазвичай змінні або функції прагнуть або до нуля, або до нескінченності. При межі, що дорівнює нулю, величина вважається нескінченно малої. Іншими словами, нескінченно малими називаються величини, які змінні і наближаються до нуля. Якщо межа прямує до нескінченності, то його називають нескінченним межею. Зазвичай він записується у вигляді:
lim x = + ?.
lim x = + ?.
2
У меж є ряд властивостей, деякі з яких представляють собою аксіоми. Нижче представлені основні з них.
- одна величина має тільки один предел-
- одна величина має тільки один предел-
- межа постійної величини дорівнює величині цієї постійної;
- межа суми дорівнює сумі меж: lim (x + y) = lim x + lim y;
- межа твори дорівнює добутку меж: lim (xy) = lim x * lim y
- постійний множник може бути винесений за знак межі: lim (Cx) = C * lim x, де C = const;
- межа приватного дорівнює приватному меж: lim (x / y) = lim x / lim y.
3
У завданнях з межами зустрічаються як числові вирази, так і похідні цих виразів. Це може виглядати, зокрема, наступним чином:
lim xn = a (при n-gt ;?).
Нижче представлений приклад нескладного межі:
lim 3n +1 / n + 1
lim xn = a (при n-gt ;?).
Нижче представлений приклад нескладного межі:
lim 3n +1 / n + 1
n-gt;?.
Для вирішення цієї межі поділіть всі вираз на n одиниць. Відомо, що якщо одиниця ділиться на деяку величину n-gt;?, То межа 1 / n дорівнює нулю. Справедливо і зворотне: якщо n-gt; 0, то 1/0 = ?. Поділивши весь приклад на n, запишіть його в представленому нижче вигляді і отримаєте відповідь:
lim 3 + 1 / n / 1 + 1 / n = 3
n-gt;?.
4
При вирішенні завдань на межі можуть виникати результати, які називаються невизначеностями. У таких випадках застосовують правила Лопіталя. Для цього проводять повторне диференціювання функції, яке призведе приклад в таку форму, в якій його можна було вирішити. Існують два типи невизначеностей: 0/0 і? / ?. Приклад c невизначеністю може виглядати, зокрема, наступним звертаючись:
lim 1-cosx / 4x ^ 2 = (0/0) = lim sinx / 8x = (0/0) = lim cosx / 8 = 1/8
lim 1-cosx / 4x ^ 2 = (0/0) = lim sinx / 8x = (0/0) = lim cosx / 8 = 1/8
x-gt; 0.
5
Другим видом невизначеності вважається невизначеність виду? / ?. Вона часто зустрічається, наприклад, при вирішенні логарифмів. Нижче показаний приклад межі логарифма:
lim lnx / sinx = (? /?) = lim1 / x / cosx = 0
lim lnx / sinx = (? /?) = lim1 / x / cosx = 0
x-gt; ?.
межею функції f (x) при x, що прагне до деякого числа a, називається таке число b, коли для кожного позитивного числа? можна вказати позитивне число?, що задовольняє умові: якщо | x - a | lt; ?, То | f (x) - b | lt; ?. Завдання обчислення границі часто зустрічається в математичному аналізі.
Поділися в соціальних мережах:
Схожі
- Як знайти мінімальне значення функції
- Як визначити точки розриву функції
- Як навчитися вирішувати межі
- Як знайти похилу асимптоту
- Як знаходити межі функцій
- Як обчислити межа з прикладами
- Як знайти точки перетину функції
- Як досліджувати безперервність функції
- Як обчислити межа
- Як знайти межі за правилом лопіталя
- Як шукати похідну
- Як порахувати межа
- Як досліджувати на збіжність ряд
- Як обчислити межа послідовності
- Як визначити межу
- Як визначити найбільше значення функції
- Як за графіком швидкості визначити прискорення
- Як знаходити асимптоти
- Як знаходити межі послідовності
- Як рахувати межі
- Як обчислити межі функцій, не користуючись засобами диференційного обчислення