Як порахувати межа
Відео: Межа послідовності # 7
межею функції f (x) при x, що прагне до деякого числа a, називається таке число b, коли для кожного позитивного числа? можна вказати позитивне число?, що задовольняє умові: якщо | x - a | lt; ?, То | f (x) - b | lt; ?. Завдання обчислення границі часто зустрічається в математичному аналізі.
1
Межа функції f (x) в точці a будемо позначати lim (f (x)), x -gt; a.
2
Для будь-якої функції, неперервної в точці a, lim (f (x)), x -gt; a = f (a).
3
Межа суми функцій при x -gt; a дорівнює сумі меж цих функцій при x -gt; a, тобто lim (f (x) + g (x)), x -gt; a = lim (f (x)), x -gt; a + lim (g (x)), x -gt; a.Напрімер, lim (3x ^ 2 + 8x), x -gt; 2 дорівнює lim (3x ^ 2), x -gt; 2 + lim (8x), x -gt; 2 = 12 + 16 = 28.
4
Межа твори функцій при x -gt; a дорівнює добутку меж цих функцій при x -gt; a, тобто lim (f (x) * g (x)), x -gt; a = (lim (f (x)), x -gt; a) * (lim (g (x)), x -gt; a) .Наприклад, lim (sin (x) * cos (x)), x -gt; 0 дорівнює (lim (sin (x)), x -gt; 0) * (lim (cos (x)), x -gt; 0) = 0 * 1 = 0.
5
Аналогічно, межа частки функцій при x -gt; a дорівнює частці від ділення їх меж, але тільки в тому випадку, якщо межа знаменника не дорівнює нулю: lim (f (x) / g (x)), x -gt; a = (lim (f (x)), x -gt; a) / (lim (g (x)), x -gt; a), якщо lim (g (x)), x -gt; a? 0.Напрімер, lim ((5x + 8) / (x - 2)), x -gt; 4 дорівнює (lim (5x + 8), x -gt; 4) / (lim (x - 2), x -gt; 4) = 28/2 = 14.
6
Якщо lim (f (x)), x -gt; a = 0 і lim (g (x)), x -gt; a = 0, то, обчислюючи межу приватного цих функцій в точці a, ви стикаєтеся з невизначеністю типу 0/0. Щоб її усунути, потрібно постаратися розкласти чисельник і знаменник на множники і скоротити ті з них, які звертаються в нуль при x = a.Напрімер, нехай потрібно знайти lim ((x ^ 2 - 9) / (x - 3)), x -gt; 3. Спрощуючи дріб, ви отримаєте (x ^ 2 - 9) / (x - 3) = ((x - 3) * (x + 3)) / (x - 3) = x + 3. Отже, шуканий межа дорівнює lim (x + 3), x -gt; 3 = 6.
7
Якщо lim (f (x)), x -gt; a = ±? і lim (g (x)), x -gt; a = ± ?, то при обчисленні межі приватного цих функцій в точці a вам доведеться усунути невизначеність типу? / ?. Це можна зробити, спростивши вираз, як і в попередньому випадку. Інший спосіб розкриття невизначеності полягає в тому, щоб розділити чисельник і знаменник на x найбільшою мірою, яка присутня в вираженні, а після цього спробувати обчислити межа згідно з наведеними вище правилами.
8
Якщо чисельник і знаменник приватного f (x) / g (x) одночасно прагнуть до нуля або нескінченності при x -gt; a, то для розкриття невизначеності можна скористатися правилом Лопіталя. Згідно з цим правилом, межа частки функцій в точці a дорівнює межі приватного їх похідних в тій же точці, тобто lim (f (x) / g (x)), x -gt; a = lim (f? (x) / g? (x)), x -gt; a.Напрімер, нехай потрібно обчислити lim (x ^ 2 / (x - 5)), x -gt; ?. Диференціюючи обидві функції, ви отримаєте (x ^ 2)? / (X-5)? = 2x / 1 = 2x. Межа цієї функції при x -gt; ? дорівнює?.
Поділися в соціальних мережах:
Схожі
- Як знайти модуль числа
- Як знайти похідну в точці
- Як порахувати арккосинус
- Як навчитися вирішувати межі
- Як знаходити межі функцій
- Що таке похідна
- Як обчислити межа з прикладами
- Як знайти координати точок перетину графіка функції
- Як знайти кутовий коефіцієнт дотичної до графіка функції
- Як знаходити значення похідної функції
- Як досліджувати безперервність функції
- Як обчислити межа
- Як шукати похідну
- Як обчислити межа послідовності
- Як обчислювати комплексні числа
- Як визначити межу
- Межі: як їх порахувати
- Як побудувати графік функції
- Як знаходити межі послідовності
- Як знайти критичні точки
- Як рахувати межі