Як обчислити криволінійний інтеграл
Відео: Криволінійний інтеграл 1 роду
криволінійний інтеграл береться вздовж будь-якої плоскої або просторової кривої. Для обчислення прийняті формули, які дійсні при дотриманні певних умов.
1
Нехай на кривій в декартовій системі координат визначена функція F (x, y). Для інтегрування функції крива розбивається на відрізки довжиною, близькою до 0. Усередині кожного такого відрізка вибираються точки Mi з координатами xi, yi, визначаються значення функції в цих точках F (Mi) і множаться на довжини ділянок: F (M1) middot-? S1 + F (M2) middot-? s2 + ... F (Mn) middot-? sn =? F (Mi) middot-? si при 1 lt; = I lt; = n.
2
Отримана сума називається криволінійної інтегральной сумою. відповідний інтеграл дорівнює межі від цієї суми: int-F (x, y) ds = lim? F (Mi) middot-? si = lim? F (xi, yi) middot- radic- ((? xi) sup2- + (? yi) sup2-) = lim F (xi, yi) middot-radic- (1 + (? yi /? xi) sup2-) middot-? xi = int-F (x, y) middot-radic- (1 + (yrsquo-) sup2-) dx.
3
Прімер.Найдіте криволінійний інтеграл int-xsup2-middot-yds уздовж лінії y = ln x при 1 lt; = x lt; = e.Решеніе.По формулою: int-xsup2-yds = int-xsup2-middot-radic- (1 + ((ln x) rsquo-) sup2-) = int-xsup2-middot-radic- (1 + 1 / xsup2-) = int-xsup2- middot-radic - ((1 + xsup2 -) / x) = int-xmiddot-radic- (1 + xsup2-) dx = 1 / 2middot-int-radic- (1 + xsup2-) d (1 + xsup2-) = 1/2 middot- (1 + x) ^ 3/2 = [1 lt; = x lt; = e] = 1 / 3middot - ((1 + esup2 -) ^ 3/2 - 2 ^ 3/2)? 7,16.
4
Нехай крива задана в параметричної формі x =? (T), y =? (T). Щоб обчислити криволінійний інтеграл, застосуємо вже відому формулу: int-F (x, y) ds = lim? F (Mi) middot-? si = lim? F (xi, yi) middot-radic - ((? xi) sup2- + (? yi) sup2-).
5
Підставивши значення x і y, отримаємо: int-F (x, y) ds = lim? F (? (Ti),? (Ti)) middot-radic - (? Sup2- (ti) +? Sup2- (ti)) middot-? Ti = int-F (? (t),? (t)) middot-radic - (? sup2- +? sup2-) dt.
6
Прімер.Вичісліте криволінійний інтеграл int-ysup2-ds, якщо лінія задана параметрично: x = 5middot-cos t, y = 5middot-sin t при 0 lt; = t lt; =? /2.Решеніе.ds = (25middot-cossup2- t + 25middot-sinsup2- t) dt = 5dt.int-ysup2-ds = int-25middot-sinsup2-tmiddot-5dt = 125 / 2int- (1 - cos 2t) dt = 125 / 2middot- (t - sin 2t / 2) = [0 lt; = t lt; =? / 2] = 125 / 2middot - ((? / 2 - 0) - (0 - 0)) = 125 / 2middot -? / 2 = 125middot -? / 4.
Поділися в соціальних мережах:
Схожі
- Як приготувати рибні котлети
- Як правильно готувати коропа: кращі рецепти
- Як знаходити інтеграл
- Як оголосити функцію
- Як приготувати восьминога
- Як знайти площу рівнобедреної трапеції
- Як приготувати котлети по-київськи
- Як знайти проміжки зростання і спадання функції
- Як приготувати пюре
- Як приготувати гуляш
- Як приготувати свинину з сиром у духовці
- Печінка в сметані: як приготувати її смачно
- Як приготувати печінку
- Як приготувати борщ зі свіжої капусти
- Як приготувати гречку по-купецькому
- Як вирішити невласний інтеграл
- Як обчислити діагональ прямокутника
- Як дізнатися площа трапеції
- Пельмені: як смачно готувати вдома
- Як приготувати горбушу
- Як приготувати локшину домашню