Що таке похідна

Назва функції походить від слова «вироблена», тобто утворена від іншої величини. процес визначення похідною будь-якої функції називається диференціюванням. Поширений спосіб представлення та визначення - через теорію меж, хоча вона виникла пізніше диференціального обчислення. Відповідно до цієї теорії похідна - це границя відношення приросту функції до приросту аргументу, якщо така межа існує, за умови, що аргумент прагне до нуля. Вважається, що вперше термін «похідна» вжив відомий російський математик В.І.Вісковатов.Чтоби знайти похідну функції f в точці x, необхідно визначити значення цієї функції в точці х і в точці x +? X, де? X - приріст аргументу х. Знайти приріст функції y = f (x +? X) - f (x). Записати похідну через межу відношення frsquo- = lim (f (x +? X) - f (x)) /? X, обчислити при? X -gt; 0. Прийнято позначати похідну знаком апостроф «rsquo-» над дифференцируемой функцією. Один апостроф - перша похідна, два - друга, похідна вищого порядку задається відповідною цифрою, наприклад, f ^ (n) - похідна n-го порядку, де n - ціле число gt; = 0. похідна нульового порядку є сама дифференцируемая функція.Для полегшення диференціювання складних функцій були розроблені правила диференціювання: Crsquo- = 0, де С - константа- xrsquo- = 1 (f + g) rsquo- = frsquo- + grsquo-- (C * f ) rsquo- = C * frsquo- і т.д.Для N-кратного диференціювання може бути застосована формула Лейбніца: (f * g) ^ (n) =? C (n) ^ k * f ^ (nk) * g ^ k, де C (n) ^ k - біноміальні коеффіціенти.Некоторие властивості похідної: 1) Якщо функція диференційовна на деякому інтервалі, то вона неперервна на цьому інтервалі-2) за лемі Ферма: якщо функція має локальний екстремум (мінімум / максимум) в точці х, то f (x) = 0-3) у різних функцій можуть бути однакові проізводние.Геометріческій зміст похідної: якщо функція f має кінцеву похідну в точці х, то значення цієї похідної дорівнюватиме тангенсу кута нахилу дотичної до функції f в цій точке.Фізіческій зміст похідної: перша ін похідних до функції русі тіла - миттєва швидкість, друга похідна - миттєве прискорення. Аргумент функції - момент времені.Економіческій зміст похідної: перша похідна від обсягу виробленої продукції в певний момент часу є продуктивність праці.