Як вирішувати показові рівняння

показові рівняння виду a ^ f (x) = a ^ g (x) рівносильні рівняння f (x) = g (x). Наприклад, якщо дано рівняння 2 ^ (3x + 2) = 2 ^ (2x + 1), то необхідно вирішувати рівняння 3x + 2 = 2x + 1 звідки х = -1.

показові рівняння можна вирішити за допомогою методу введення нової змінної. Наприклад, вирішите рівняння 2 ^ 2 (x + 1.5) + 2 ^ (x + 2) = 4.
Перетворіть рівняння 2 ^ 2 (x + 1.5) + 2 ^ x + 2 ^ 2-4 = 0, 2 ^ 2x * 8 + 2 ^ x * 4-4 = 0, 2 ^ 2x * 2 + 2 ^ x-1 = 0.


Позначте 2 ^ x = y і отримаєте рівняння 2y ^ 2 + y-1 = 0. Вирішивши квадратне рівняння, ви отримаєте y1 = -1, y2 = 1/2. Якщо y1 = -1, то рівняння 2 ^ x = -1 не має рішень. Якщо y2 = 1/2, то, вирішивши рівняння 2 ^ x = 1/2, отримаєте х = -1. Отже, вихідне рівняння 2 ^ 2 (x + 1.5) + 2 ^ (x + 2) = 4 має один корінь х = -1.

показові рівняння можна вирішувати за допомогою логарифмування. Наприклад, якщо є рівняння 2 ^ x = 5, то застосовуючи властивість логарифмів (а ^ logaX = X (Xgt; 0)), рівняння можна записати у вигляді 2 ^ x = 2 ^ log5 по підставі 2. Таким чином x = log5 по основою 2.

Якщо в рівнянні в показники міститься тригонометрическая функція, то подібні рівняння вирішуються вищеописаними способами. Розглянемо приклад, 2 ^ sinx = 1/2 ^ (1/2). За допомогою способу логарифмування, розглянутого вище, дане рівняння приводиться до виду sinx = log1 / 2 ^ (1/2) по підставі 2. Проведіть дії з логарифмом log1 / 2 ^ (1/2) = log2 ^ (- 1/2) = -1 / 2log2 за основою 2, що дорівнює (-1/2) * 1 = -1 / 2. Рівняння можна записати як sinх = -1 / 2, вирішуючи дане тригонометрическое рівняння, вийде, що х = (- 1) ^ (n + 1) * П / 6 + Пn, де n - натуральне число.

Якщо в рівнянні в показники міститься модуль, подібні рівняння також вирішуються за допомогою способів, описаних вище. Наприклад, 3 ^ [x ^ 2-x] = 9. Наведіть всі члени рівняння до загального основи 3, отримаєте, 3 ^ [x ^ 2-x] = 3 ^ 2, що рівносильне рівнянню [x ^ 2-x] = 2, розкриваючи модуль, отримаєте два рівняння x ^ 2-x = 2 і x ^ 2-x = -2, вирішуючи які, отримаєте x = -1 і x = 2.